Точки перегиба. Асимптоты

Кривая именуется выпуклой в точке х=х0, если в некой округи этой точки кивая размещена под касательной, проведенной в этой точке (рис.6а), если же кривая лежит над касательной, то функция именуется вогнутой (рис.6б).

В качестве достаточных критерий неровности, вогнутости графика функций можно принять последующие: если y">0, то кривая вогнутая Точки перегиба. Асимптоты, если y"<0, то кривая выпуклая.

Точкой перегиба именуется точка, разделяющая интервал неровности от интервала вогнутости. Нужным условием существования точки перегиба является равенство нулю 2-ой производной от функции, достаточным – изменение знака 2-ой производной при переходе через точку, подозрительную на точку перегиба.

Пусть имеется кривая, ветвь которой в том Точки перегиба. Асимптоты либо ином направлении удаляется в бесконечность. Если расстояние от точки кривой до некой прямой по мере удаления точки кривой в бесконечность стремится к нулю, то эта ровная именуется асимптотой графика кривой.

Существует три вида асимптот: вертикальная, горизонтальная, наклонная.

Пусть y=f(x), а – точка разрыва функции либо граничная точка области Точки перегиба. Асимптоты определения.

Если , то ровная х=а есть вертикальная асимптота.

Если , то ровная х=b – горизонтальная асимптота.

Наклонная асимптота имеет вид у=kx+b, где ; .

Замечание. Пределы при х®∞, х®-∞ находятся раздельно.

Метод полного исследования функции y=f(x)

1. Отыскать область определения функции; точки разрыва.

2. Отыскать асимптоты графика функции.

3. Найти Точки перегиба. Асимптоты четность, нечетность, периодичность функции.

4. Установить промежутки возрастания, убывания и экстремумы функции.

5. Найти интервалы неровности, вогнутости и точки перегиба графика функции.

6. Отыскать точки скрещения графика с осями координат.

7. По мере надобности вычислить значения функции в дополнительных точках.

___________________

1.5.1. Отыскать промежутки неровности, вогнутости, точки перегиба:

а) у=х5-5х-6; б) у=(х-5)5/3+2;

в) у Точки перегиба. Асимптоты=хех; г) у=х4-8х3+24х2.

Ответ: а) (-∞;0) – выпуклая; (0;∞) – вогнутая;

б) р(5;2) – точка перегиба;

в) (-∞;-2) – выпуклая; (-2;∞) – вогнутая;

г) точек перегиба нет.

1.5.2. Отыскать асимптоты графика функций:

а) ; б) ;

в) ; г) y=-xarctgx.

Ответ: а) х=-2, у=3; б) х=1, х= -6, у=0; в) у=х-6;

г)

1.5.3. Изучить функции и Точки перегиба. Асимптоты выстроить их графики:

а) ; б) ;

в) ; г) .

Ответ: а) уmin(2)=3; асимптоты у=х, х=0;

б)уmin(2Ö3)=3Ö3, уmax(-2Ö3)= -3Ö3; (0;0) – точка перегиба; х=±2, у=х – асимптоты;

в) уmax(е2)=2/е, у=0 – асимптоты;

г) уmax(1)=е.

1.5.4. Отыскать промежутки неровности, вогнутости, точки перегиба:

а) ; б) ;

в) y=ln|x|; г) .

Ответ: а) (2;-8/3); б) ; в) точек перегиба нет Точки перегиба. Асимптоты;

г) .

1.5.5. Отыскать асимптоты графиков функций:

а) ; б) y=x-arctgx;

в) .

Ответ: а) х=0; у=1; б) ; в) у=2х; х=0.

1.5.6. Изучить функции и выстроить графики:

а) ; б) .

Ответ: а) у=-х – наклонная асимптота; б) уmin(6)=13,5; (0;0) – точка перегиба; х=2; у=х+4 – асимптоты.

Параметрически данные функции.

Векторная функция скалярного аргумента.

Кривизна Точки перегиба. Асимптоты плоской кривой

Пусть даны две функции переменной величины , рассматриваемые для одних и тех же значений t. Эти уравнения на плоскости задают некую кривую. Потому что переменная t именуется параметром, то и приведенная система именуется параметрическимуравнениемкривой.

Если , то , а .

Пусть сейчас некая кривая задана в пространстве R3своими параметрическими Точки перегиба. Асимптоты уравнениями: . Тогда каждому значению t можно поставить в соответствие вектор , который именуется векторной функцией скалярного аргумента t. Линия с, описываемая концом радиуса – вектора , именуется годографом.

Если рассматривать как траекторию перемещения вещественной точки в пространстве, то законы конфигурации скорости и ускорения движения этой точки имеют вид:

Пусть задана плоская Точки перегиба. Асимптоты кривая уравнением y=f(x). Величина определяет ее кривизну.

Радиус кривизны есть . Для параметрически данной кривой .

________________

1.6.1. Отыскать , еслиx=arccost, y=arcsint.

Ответ: .

1.6.2. Исключить параметр t из уравнений x=acost, y=bsint. Выстроить кривую.

Ответ: .

1.6.3. Траектория перемещения вещественной точки задана уравнением . Отыскать закон конфигурации скорости движения. Выстроить линию движения и Точки перегиба. Асимптоты векторы скорости при t=0; t=1.

Ответ: .

1.6.4. Найти кривизну кривой при t=1.

Ответ: .


tochki-peregiba-asimptoti.html
tochki-pryamie-i-otrezok.html
tochki-smazki-instrukciya-po-ekspluatacii-mxu.html